Hallveig Rúnarsdóttir hóf söngnám hjá Sigurði Demetz árið 1991. Hún lauk 8. stigi frá Tónlistarskólanum í Reykjavík undir handleiðslu Rutar L. Magnússon árið 1998. Það sama ár hóf hún nám hjá Theresu E. Goble við Guildhall School of Music and Drama í London og útskrifaðist þaðan með láði sumarið 2001. Hallveig hefur sungið nokkur óperuhlutverk, flest hjá Íslensku óperunni en einnig víðar. Meðal hlutverka hennar eru Donna Anna í Don Giovanni eftir Mozart, Michaëla í Carmen eftir Bizet, Fiordiligi í Così fan Tutte eftir Mozart, Gianetta í Ástardrykknum eftir Donizetti, Rödd af himnum í óperunni Don Carlo eftir Verdi og Echo í Ariadne auf Naxos eftir Richard Strauss. Árið 2016 frumflutti hún hlutverk stúlku í óperu Kristians Blak, Ljós í ljóði í Færeyjum og árið 2018 frumflutti hún hlutverk Gilitruttar í samnefndri óperu eftir Hildigunni Rúnarsdóttur. Árið 2022 frumflutti hún hlutverk Traveller í óperunni Traversing the Void eftir Hildigunni Rúnarsdóttur og endurflutti síðan verkið í Ástralíu í mars 2023. 

​

Hallveig hefur komið fram sem einsöngvari víða um heim og hefur sungið sópranhlutverkið í mörgum helstu stórverkum tónbókmenntanna, meðal annars hefur hún sungið margoft með Sinfóníuhljómsveit Íslands auk fjölda annarra hljómsveita bæði hér á landi og erlendis. Hún hefur sérstaklega verið virk í flutningi nýrrar tónlistar og hefur frumflutt mörg ný íslensk verk, t.d. á Listahátíð í Reykjavík og á Sumartónleikum í Skálholti, auk þess að syngja inn á upptökur til útgáfu og útvarpsútsendinga. Hallveig hefur og haldið fjölda einsöngstónleika á Íslandi og erlendis undanfarin ár þar sem hún hefur lagt áherslu á ljóðasöng.

​

Hallveig hlaut Íslensku tónlistarverðlaunin sem söngkona ársins í sígildri- og samtímatónlist árið 2013 fyrir hlutverk sitt sem Michaëla í Carmen hjá Íslensku óperunni, og aftur árið 2018 fyrir hlutverk sitt sem Gilitrutt og söng sinn á Klassíkinni okkar með Sinfóníuhljómsveit Íslands. Auk þess hlaut hún tilnefningu til sömu verðlauna árið 2014 fyrir söng sinn í Deutsches Requiem eftir Brahms með Söngsveitinni Fílharmóníu og árið 2016 fyrir söng sinn í Þriðju sinfóníu Góreckís með Sinfóníuhljómsveit Íslands. Hún var tilnefnd til Grímuverðlauna sem söngvari ársins árið 2014 fyrir Michaëlu og einnig árið 2017 fyrir Donnu Önnu í Don Giovanni eftir W. A. Mozart.

​

Hallveig er listrænn stjórnandi og stofnandi tónlistarhópsins Cantoque Ensemble sem hefur vakið verðskuldaða athygli fyrir flutning sinn. Hún er einnig kennari og aðstoðarskólastjóri Söngskóla Sigurðar Demetz.